МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ И ИНВЕРСИИ
(вариационные принципы в науке)

Предмет нашей статьи ясен из заглавия лишь для специалистов. Поэтому мы здесь коротко поясним, что речь идет о механизмах распространения вариационных (экстремальных) принципов, таких, как, прежде всего, принципы Лагранжа и Гамильтона, за пределы механики, а также оборачивания, инверсии возникших на их основе принципов оптимальности, применяемых в экономико–математическом моделировании, на область своей прародины — механики, а также физики. Последнее является одним из замечательных явлений в современной науке.

Термин “экстремальные принципы” оттеняет в философском смысле определенные моменты всеобщности этих принципов, выходящие далеко за пределы физики — в кибернетику, биологию, теорию систем и др. Он вообще выделяет универсальность отношений между максимумами и минимумами или даже простое наличие их в процессах измерения.

Экстремальные принципы в классической механике впервые были сформулированы Г.Лейбницем, П.Мопертюи, Л.Эйлером, в оптике — П.Ферма. Но лишь Ж.Лагранж и, особенно, У.Гамильтон придали им тот смысл и ту форму, которая оказалась плодотворной в дальнейшем во всех разделах физики.

Следует особо подчеркнуть значение понятия “действия”. Это понятие, имеющее размерность энергия _ время, занимает центральное положение в физике. В отличие от других понятий классической механики, вошедших затем в квантовую механику, оно отображает инвариантную к преобразованиям Лоренца величину, более того, оно позволяет перебросить мостик между квантовой и релятивистской физикой, реализовать столь органичную для квантовой механики идею целостности физического объекта.

Отметим роль, какую играют математические методы и средства в формировании и развитии физических теорий. Несомненно, что среди них первенствует по своей универсальности дифференциальное исчисление и вариационный формализм. При этом такой вариационный принцип, каков принцип наименьшего действия, следует рассматривать как средство построения уравнений движения и уравнений поля в разных разделах теоретической физики, включая ее новые разделы (описание новых классов явлений). Рассмотрим механизм такой экстраполяции.

Прежде всего, каковы же объективные онтологические основы этого механизма? Основания эти суть, во–первых, единство закономерностей мира; во–вторых, всеобщность пространственно–временных изменений; в–третьих, единство и взаимосвязь экстремальности, сохранения (симметрии) и причинности. Фактически, поиск единства в описании физических явлений, опирающийся на отмеченные нами единство и взаимосвязь, и определенные успехи на этом пути стимулировали поиск соответствующих экстремальных принципов в немеханических областях.

Развитие и применение разбираемых принципов и вариационных методов указывают, что существует не только единство структуры и содержания законов природы, но и единство их формы. Причем, дело не только во внешнем, формальном сходстве или даже идентичности структур тех или иных процессов. Главное, видимо, в том, что существует глубокая взаимосвязь и единство форм их протекания. В данном случае такой формой является экстремальность. Но для решения конкретных задач в теоретической физике всегда необходимо определить эту экстремальность в теоретической форме посредством поиска величин, параметров, характеристик, которые способны отобразить ее. Ими могут быть такие фундаментальные параметры, как путь, время, энергия, действие и т.д. Это обстоятельство и предопределяет многообразие формулировок экстремальных принципов.

Формальное сходство законов качественно различных явлений, подобие их количественного, математического выражения позволяет строить модели соответствующих законов, наполняя их форму тем или иным содержанием с целью более полного изучения той или иной закономерности. Таково первое основание разбираемого механизма.

Но это не все. Физика, изучая соответствующие формы движения, не может исключить из описания пространственно–временные характеристики, причем, они могут входить в уравнения физики явно или неявно. Мы обозначили пространственно–временные изменения, образующие обязательные свойства любого материального движения вообще, как кинематическое движение. Вариационные принципы механики в наиболее общей и абстрактной форме отображают суть механической формы движения. Однако прежде всего именно их способность отражать пространственно–временные характеристики (прямо или опосредованно), прослеживаемая и в немеханических областях, придала данным принципам “сквозной” характер во всей физике и за ее пределами.

Кроме того, обычно в описании физических движений пространственно–временные характеристики заключены в соответствующих дифференциальных уравнениях в частных производных или в интегро–дифференциальных уравнениях. Здесь в качестве независимых переменных присутствуют пространственные и временные координаты. Интегральные формулировки вариационных принципов, поскольку они в сжатом виде заключают в себе целые системы подобных уравнений, казалось бы, всегда эквивалентны им. На самом же деле, в эти принципы вкладывается большее — дополнительное содержание. Оно не исчерпывается исключительно тем, что в них проводится варьирование траекторий, полей и т.д. Все это действительно единообразно для всей физики. Фактически же в разбираемых принципах заключена их инвариантность по отношению к любым преобразованиям координат. Этим свойством указанные выше уравнения не обладают. Интегральная формулировка принципа наименьшего действия, например, включает не только локальные пространственные и временные характеристики. Вариационные принципы могут быть обобщены так, что условия экстремальности будут содержать и необходимые граничные и начальные условия. В итоге, это позволяет в данных принципах отобразить целостный характер реальных физических процессов, их независимость друг от друга и от внешних условий. Таково второе основание.

Имеется и третье основание: взаимосвязь вариационных принципов с законами сохранения (симметрией), инвариантностью и физической причинностью.

Идея взаимосвязи и единства сохранения и симметрии является одной из самых фундаментальных в современной физике. Ее суть в том, что с каждым законом сохранения можно связать определенную симметрию. Впервые — на основе принципов пространственно–временной симметрии — вывел основные законы сохранения в классической механике Лагранж. Это означало установление связи “симметрия — сохранение” для евклидовой группы пространства. Второй шаг в познании данной проблемы был сделан Софусом Ли в 1877 г. [1].

Дальнейшее развитие физики показало, что непосредственным обобщением лиевской формы взаимосвязи “симметрия — сохранение” является ее квантовомеханический аналог. Особое значение лиевский вариант приобрел благодаря тому, что он включил в основы физической теории групповые представления. Однако до начала XX в. отсутствует мысль о возможности обсуждаемого включения как об очень общей и самостоятельной закономерности. Эта идея возникла лишь в связи с развитием релятивистской физики, и его сознательная формулировка принадлежит Ф.Клейну, создателю “Эрлангенской программы”. Исследования ряда других ученых подвели теоретическую мысль к тому, что получило завершение в знаменитых теоремах Э.Нетер. С их помощью удалось развить чрезвычайно общий подход к данной проблеме и, в частности, установить взаимосвязь симметрии, сохранения, экстремальности и инвариантности.

Смысл важной здесь для нас так называемой усиленной обратной теоремы Нетер состоит в том, что всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при которой задан также закон преобразований функций поля, соответствует определенный инвариант, то есть сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных. Проще говоря, если интеграл действия инвариантен относительно некоторого преобразования, то этому преобразованию соответствует определенный закон сохранения, так что каждому свойству пространства и времени (симметрии) соответствует особый закон сохранения.

В физическом смысле инвариантность, как известно, означает неизменность, неотличимость физических ситуаций при изменении физических условий (сдвиг, сжатие, поворот координат, обращение времени или направления поля и т.д.). Инвариантность уравнений, описывающих физические процессы, выражает по сути дела объективные свойства симметрии физического пространства и времени.

Заметим, что в современной физической литературе термины “симметрия” и “сохранение” применяются как равнозначные. Аналогично обстоит дело с понятиями “сохранение” и “инвариантность”.

В связи со сказанным возникает и более важный здесь вопрос о соотношении принципа наименьшего действия, например, в формах Лагранжа и Гамильтона, и законов сохранения (соответственно — симметрии и инвариантности). Формулирование принципа наименьшего действия в физике и механике осуществимо при условии, что в соответствующих уравнениях отображается сохранение энергии. Отсюда обычно делается вывод, важный для построения оснований той или иной физической или механической теории, что закон сохранения энергии имеет более общий и фундаментальный характер. Но проблема значительно сложней. Дело в том, что существуют более общие, чем принцип Гамильтона, формулировки принципа наименьшего действия, обобщающие свойства и неконсервативных (то есть независящих от времени) систем. Таким принципом, например, является принцип Гамильтона–Остроградского. Кроме того, в случае консервативных систем сохранение энергии вытекает как следствие из принципа наименьшего действия, если время однородно. Последнее условие необязательно для формулирования принципа наименьшего действия. Отсюда следует вывод, что в формальном смысле принцип Гамильтона является более общим.

Но это не все. Закон сохранения энергии с формальной стороны выражает лишь одно условие, которое связывает только динамические переменные. Принцип же наименьшего действия содержит в себе возможность детального динамического описания физической системы как целого, к тому же в полном объеме. Эти обстоятельства были с особой силой подчеркнуты Р.Фейнманом. Он говорил о том, что на микроскопическом уровне неконсервативных сил (таких как трение) не существует, и они появляются в теории от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эффектами. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия [2].

Фактически интегральные формы вариационных принципов, включая в свое содержание функции Лагранжа и Гамильтона, которые имеют смысл и размерность указанные выше, оказываются лишь иными формулировками закона сохранения энергии. В рамках физики и механики, когда речь идет о формировании оснований, теоретического ядра той или иной теории, это как раз и играет решающую роль. В релятивистской теории вариационные принципы служат формой выражения фундаментального закона сохранения энергии–импульса.

Нельзя обойти и вопрос о взаимосвязи экстремальности, симметрии, сохранения и причинности. Этот вопрос оказывается наиболее важным в ядерной физике и в физике элементарных частиц. В различных физических теориях четко фиксируется, например, определенная взаимосвязь между, например, физическими симметриями и причинностью.

Необходимо заметить, что вариационные принципы, в которых в целом фиксируется обсуждаемая взаимосвязь экстремальности — симметрии — сохранения — причинности, являются, вообще говоря, довольно ограниченным способом выражения этой взаимосвязи. Разбираемые принципы не исчерпывают ее полной природы. Однако, в рамках Гамильтонова формализма, например, она для определенных целей теоретической физики оказывается достаточной. В противном случае эти принципы должны были бы объять необъятное.

Все сказанное об основах механизма экстраполяции вариационных принципов за пределы их прародины — классической механики — дает, как нам представляется, достаточно доводов в пользу законности тех аналогий, к которым прибегали и прибегают в физике, чтобы распространить эти принципы на другие предметные области. Аналогия действительно сыграла здесь конструктивную роль. Но уже в рамках классической физики стало очевидным, что для экстраполяции имеющегося закона или принципа на качественно иную предметную область нельзя воспользоваться простой дедукцией, пока не найдены хотя бы внешние, но сходные моменты, стороны, свойства. Оптико–механическая аналогия, проведенная Гамильтоном при формулировании им т.н. “теории лучей”, опиралась, как на общее основание, на объективные экстремальные закономерности в протекании механических и оптических явлений. Это и позволило Гамильтону успешно сформулировать не только свой оптико–механический по сфере действия принцип, но и построить соответствующую теорию. В XIX в., когда встал вопрос о теоретическом осмыслении тепловых и электромагнитных явлений, пытались пойти по такому же пути. Но это приводило к построению механических и механистических по своей сути моделей данных явлений (работы Р.Кирхгофа, Г.Гельмгольца, Г.Лоренца и др.), пока, наконец, не была понята роль специфики тепловых и электромагнитных явлений в результате признания всеобщности и фундаментальности закона сохранения и превращения энергии и учета других, именно специфических законов.

Методологически наиболее интересен вопрос о применении вариационных принципов в квантовой механике. Отметим, он важен, потому что и в самом деле здесь есть нечто совершенно отличное от тех сравнительно несложных аналогий, какие можно провести между классической механикой и термодинамикой вкупе с электродинамикой. Вариационные принципы теоретики здесь применили потому, что ничего приемлемого под руками на первых порах не было. Между тем двойственный, корпускулярно–волновой, характер объектов микромира подтолкнул в 1924 г. Л. де Бройля к известной аналогии между оптическими и механическими принципами Ферма и Мопертюи. В 1926 г. Э.Шредингер показал, как можно вывести важнейшее волновое уравнение квантовой механики из вариационного принципа Гамильтона в форме Якоби. Однако применение вариационных принципов в квантовой механике не свелось лишь к теоретическому и чисто математическому “выведению” из них некоторых, хотя и важнейших, соотношений квантовой теории. Они, будучи аксиомами в основаниях классической аналитической механики, могут лечь и в основания квантовой механики. Подобные схемы квантовой теории сегодня хорошо известны.

Здесь представляется важным следующее. Одной и той же классической функции Лагранжа и Гамильтона, как и ряду других функций, могут соответствовать несколько функций — операторов. Поэтому о совпадении, полном тождестве описания классической и квантовой системы говорить нельзя. В первом, например, мы не найдем идеи дополнительности, принципа Гейзенберга, перестановочных соотношений и др. Вместе с тем, из этого правила существуют исключения. Поэтому на практике в ряде случаев оказывается возможным описывать одни и те же объекты языком как классической, так и квантовой теории. Причина этого в том, что специфичность микромира не абсолютна, микромир как бы внутренне связан с макромиром. В соответствующем математическом аппарате это находит свое выражение. В конце концов в квантовой механике математическая схема внешне похожа на классическую теорию. Перестановочные же соотношения не запрещают уравнения динамики выводить из функции Гамильтона.

Однако в квантовой теории, как она оформилась в результате работ Н.Бора, В.Гейзенберга, В.Паули, Э.Ферми, П.Дирака и др., существовала “проклятая” проблема расходимостей. Попытка решения ее, осуществленная Р.Фейнманом, привела к новому варианту теории и новому методу — методу континуальных интегралов [3]. Фейнмановская трактовка квантовой механики по существу сориентирована на сохранение преемственности с вероятностной копенгагенской интерпретацией квантовой механики и с классической механикой (посредством хорошо известного т. н. предельного перехода). Причем, в центре внимания находится связь квантовой механики с аналитической механикой с помощью квантовомеханической трактовки Лагранжевой и гамильтоновой функции действия. На основе идеи П.Дирака о роли лагранжиана в квантовой механике в фейнмановской трактовке амплитуда вероятности связывается не просто с координатами частицы в данный момент, а со всем ее движением, взятым в его целостности и рассматриваемом как функция времени. Тогда, на основе вероятностного подхода, понимаемого как теоретическая парадигма, движение, переход частицы из одной точки в другую будет описываться уже не одной — классической траекторией, как в аналитической механике, а множеством траекторий, причем каждая будет вносить вклад в амплитуду вероятности перехода.

Подчеркнем, что связь классической и квантовой механики Р.Фейнману удалось формализовать и выявить благодаря особому подходу к анализу данной проблемы, который он сам определил как пространственно–временной подход. Этот подход в принципе означает включение в теорию движения его важнейших атрибутивных характеристик.

В квантовой механике изменение волновой функции в зависимости от времени описывают при помощи дифференциального уравнения, в котором используется оператор Гамильтона H. Р.Фейнман называет этот способ описания “гамильтоновым методом”. Именно с позиций пространственно–временного подхода у него и сложилось отрицательное отношение к гамильтонову методу. Возникает вопрос: почему?

Причина в том, что гамильтонову формулировку, в которой действие не является функцией только скоростей и координат в один и тот же момент времени, невозможно совместить с принципом наименьшего действия. Прямая запись принципа наименьшего действия, когда учитывают лишь движение зарядов (и исключают поля), содержит координаты при различных временах. В итоге квантовомеханический аналог классической механики, построенный с помощью принципа наименьшего действия в гамильтоновой форме, вовсе не очевиден.

Кроме того, уравнения в гамильтоновой форме позволяют по заданному настоящему определить будущее состояние. Но в квантовой электродинамике при рассмотрении движения частиц оказывается необходимым учитывать движение зарядов и эффект запаздывания взаимодействия. Это значит, что описание состояния движущейся частицы в будущем должно опираться не только на знание настоящего состояния, но и на знание всей ее предыстории.

При пространственно–временном подходе к квантовой механике и электродинамике рассматриваются лишь характер пути частицы в пространстве и времени. В любой пространственно–временной системе координат решения уравнений Гамильтона сохраняют свой вид, тогда как сами уравнения дают различные временные соотношения между характеристиками состояния для разных наблюдателей. Пространственно–временная концепция и подход Р.Фейнмана существенно отличается от гамильтонова метода еще и тем, что если первый задает сразу всю последовательность процесса в пространстве и времени, то последний задает непрерывное развитие будущего из настоящего. Первый подход аналогичен в случае задач рассеяния методу S–матрицы Гейзенберга, в котором, как известно, не учитывается временной порядок процесса рассеяния. Поэтому и имеет смысл отказаться от метода Гамильтона, в котором имеются указанные недостатки и описать движения и взаимодействия в микромире наиболее естественным образом.

Анализируемая трактовка квантовой механики остается формально и по сути дела эквивалентной формулировкам В.Гейзенберга и Э.Шредингера. Но она зато без особых трудностей позволяет объяснить действительную траекторию частицы как проявление многообразия ее возможных траекторий, что характерно для классической механики. В классическом случае величина действия S намного превышает значение постоянной Планка ћ. Близкие по классическим понятиям к действительной (экстремальной) траектории имеют хотя и близкие между собой значения амплитуд, но различные фазы, и их вклады в общую сумму взаимно уничтожаются, погашаются. Данный формализм действительно перебрасывает мостик от описания частицы в классической механике к описанию ее в квантовой механике, и делает это весьма естественно.

Дальнейшее применение вариационных принципов и методов идет как по пути использования аналогий, когда учитывается специфика характеристик объектов в новой предметной области, так и по пути усовершенствования математических средств выражения лагранжева или гамильтонова формализмов. Наконец, третий путь — переход к применению вариационных принципов и методов, обобщающих свойства более сложных систем, какие изучает, к примеру кибернетика для анализа и описания механических и, вообще, физических систем. Первый путь стал уже традиционен, поэтому мы коротко остановимся на двух остальных.

Рассмотрим второй путь — развитие формализма Лагранжа–Нетер.

С математической точки зрения решение принципа наименьшего действия представляет собой вариационную задачу с неподвижными концами. Вместе с тем это средство вывода уравнений движения и уравнений поля. Доказательство теоремы Нетер, напротив, сводится к вариационной задаче с подвижными концами. Эта теорема рассматривает инвариантность интеграла действия при произвольных непрерывных преобразованиях координат. Рассматривается не простая вариация (вариация формы) полевых функций, а так называемая полная вариация, вносящая вклад, обусловленный варьированием координат. Однако последнее (варьирование) неизбежно приводит и к изменению координат гиперповерхности, ограничивающей область интегрирования, то есть к вариационной задаче с подвижными концами. Но конечным “продуктом” теоремы Нетер является стандартная дифференциальная форма законов сохранения. Таким образом, законы сохранения возникают формально из рассмотрения задачи с подвижными, меняющимися границами, а законы изменения (уравнения движения, уравнения поля) появляются из вариационной задачи с неподвижными, сохраняющимися концами. В рамках формализма Лагранжа–Нетер изменение и сохранение выступают во взаимопроникающем и взаимообусловленном единстве. К такому же выводу приводит и рассмотрение интегральной формулировки законов сохранения.

Необходимо отметить также новейшее направление развития вариационного формализма, которое стимулировалось бурным развитием исследований по общей теории относительности (ОТО), и которое является обобщением этого формализма на случай лагранжианов, содержащих старшие производные от полевых функций. Но наибольшее внимание привлекает изучение физического смысла и эвристических возможностей метода А.Палатини, интерес к которому крайне обострился в 80–е годы. Это метод, в соответствии с которым осуществляется независимое варьирование по двум группам аргументов — напряженностям и потенциалам поля. Одно из этих варьирований приводит к описанию физического поля на основе дифференциальных уравнений первого (а не второго, как обычное варьирование по Гамильтону) порядка, а второе — к установлению связи между напряженностью и потенциалом — величинами, полагаемыми при варьировании независимыми. Методологическое значение вариационного принципа Палатини заключается прежде всего в том, что он, так сказать, внутренними средствами, не выходя за пределы понятийного аппарата вариационного исчисления, устанавливает четкую алгоритмическую связь между формализмами Лагранжа и Гамильтона, с одной стороны, и связь между этими формализмами и типом симметрии полевых функций — с другой. В ОТО в качестве аргументов варьирования — по Палатини — выступают одновременно и компоненты метрического тензора и компоненты аффинной связности. Вариационный метод Палатини имеет, по–видимому, большую общность и играет более фундаментальную роль, чем это кажется на первый взгляд в рамках стандартной схемы ОТО.

Особое значение для квантовой механики имеет создание стохастического вариационного исчисления.

Наконец, существует третий путь, когда используется связь между динамическим программированием и теорией дифференциальных игр, с одной стороны, и волновой механикой — с другой. При этом формулируется некоторый принцип стационарности (принцип минимакса) и устанавливается его связь с концепцией Гюйгенса — Френеля — Фейнмана, касающаяся проблемы сущности волнового процесса. Было показано, что этот принцип — принцип минимакса — может быть представлен в форме достаточных условий для оптимальной стратегии в дифференциальной игре для двух игроков с нулевой суммой. Седловая точка, с которой связана оптимальная стратегия, оказывается обобщением принципа наименьшего действия. Используя принципы оптимальности, в итоге даже в классической механике сегодня в качестве эквивалента понятия действительной траектории, ранее обозначаемой терминами “экстремаль”, “геодезическая линия”, стали употреблять понятие “оптимальная траектория” [4].

Стало быть, классическая механика стала использовать принципы оптимальности, развитые в рамках экономико–математического моделирования на основе принципа Лагранжа. В методологическом плане здесь нетрудно увидеть заимствование теорий и методов оптимального управления и теории игр, а также перенос понятий — оптимальности и др. — из одной предметной области в другую. На самом деле здесь существуют гораздо более глубокие и разнообразные проблемы, требующие специального анализа. Сейчас же заметим, что в отмеченном переносе понятий таится старая мировоззренческая проблема, которой когда–то занимались Эйлер, Мопертюи, Лагранж, Даламбер и многие другие физики и философы. Та удобная и гибкая математика, которая развита в новом вариационном исчислении (т.н. “исчислении Морса”), и те информативно емкие формулировки принципов оптимальности, которые имеются сегодня в распоряжении экономико–экономического моделирования, могут сыграть роль “троянского коня” телеологии. Они могут на новом витке развития науки реанимировать мировоззренческие споры вокруг телеологичности неживой природы. Впрочем, это уже происходит.

Примеры использования идей оптимальности, их инверсии в физику можно легко умножить. Сошлемся хотя бы на работу Г.В.Коренева [5].

Вот что надо все же сказать о возможностях и границах экономико–математических моделей оптимальности и принципах оптимальности Л.С.Понтрягина и Р.Беллмана — основных в теории оптимального управления. Первоначально упомянутые выше модели опирались на классическое вариационное исчисление и вариационный принцип Лагранжа. На первом этапе происходила простейшая экстраполяция на основе аналогий и прикидки готовых математических методов и номологических утверждений, взятых из области механики. Затем наступает этап относительной концептуальной зрелости и теоретичности: развиваются особые, специальные понятия, методы и средства, более богатое вариационное исчисление, уточняется смысл телеологичности систем, пространственно–временной локализации, учитываются ограничения, связи детерминации, дискретность–непрерывность процессов, их многофакторность и др. Оформляются свои особые экстремальные принципы; возникает теория оптимального управления со своей аксиоматикой. Появляется интенция обернуть созданную аксиоматику на первородную для нее предметную область механики и физики, чтобы реализовать вновь созданные потенции теории. Этап оборачивания аксиом или, шире, теоретического обращения, инверсии, перевертывания оснований и методов в первородную область уже начался, хотя его результаты едва еще прослеживаются. Но это чрезвычайно важное событие должно в первую очередь заинтересовать физиков, а не только методологов. Процесс этот должен охватить другие предметные области, а не только физику и космологию.

Подчеркнем, что формально задача оптимизации сводится к отысканию минимума интеграла некоторой функции переменных, заданных параметрически на соответствующих интервалах. В любом случае задача состоит в выявлении кривой, доставляющей искомый минимум. Эта кривая (экстремаль) в вариационном исчислении, по Эйлеру, удовлетворяет решению двух дифференциальных уравнений, или решению одного — в функциональном пространстве.

Необходимо сделать также пояснение, раскрывающее смысл и содержание лагранжиана и связанного с ним гамильтониана в теории оптимального управления. Смысл этих функций в физике известен. Но другое дело лагранжиан и гамильтониан, применяемые для описания оптимизации систем с управлением. Они имеют смысл, не совпадающий со смыслом лагранжиана и гамильтониана физической системы, исключая отражение в них формальных математических свойств. Например, лагранжиан системы с управлением складывается из целевой функции и абстрактных выражений для ограничений, а гамильтониан в теории оптимизации есть аналог лагранжиана. Рассматриваемые функционалы обозначают в абстрактной форме “управление” некоторой системой, зависящее в первую очередь от условий и управляющих параметров. Траектория оптимальна, если гамильтониан системы достигает максимума относительно управляющих параметров. Экстремальность параметров отображает, по сути дела, жалательность и возможность такого процесса изменения состояния системы, такого результата, который реализовался бы в спектре всех возможных управлений (в пространственно–временном и событийном смысле), причем на кратчайшей (геодезической) траектории (их трубке, потоке) с помощью наименьшего числа возможных управляющих воздействий. В задачах оптимального управления жесткое фиксирование концов интервала варьирования кривой является определенной помехой. Преодолевается она специальным образом путем улучшения свойств математического аппарата, о чем частично было сказано выше.

Принцип максимума Л.С.Понтрягина — один из главных результатов развития математической теории оптимальных процессов. Построенный первоначально только для решения задач оптимального регулирования в технических системах, он стал одним из основных принципов экономической кибернетики. Принцип этот не требует предварительного определения оптимальной траектории, как это характерно для классических вариационных принципов. Он позволяет найти количественное выражение условий оптимального управления данного процесса [6].

Существует такая опасность превратить наши принципы в чисто математические выражения, если оторвать их от той информации, которую вносит эксперимент, опыт, практика вообще в познание мира. Иначе говоря, эти принципы должны удовлетворять важному требованию информационной открытости.

Пойдем ли мы в развитии теории и методов по пути совершенствования формализма Лагранжа–Нетер или формализмаГамильтона, по пути использования метода Палатини, или теоретической инверсии, обращения вариационных принципов из теории оптимального управления, — вот основные три вопроса, на которые опыт теоретического обобщения должен дать ответы в недалеком будущем. Первый и второй пути являются органичными и естественными для традиционной теоретической физики, третий — необычен и непривычен, хотя логическая основа его отнюдь не порывает с канонами человеческого мышления и его формами. Такая основа заключена все в том же методе аналогий, который, кажется, был постоянным и неизменным спутником истории вариационных принципов с тех пор, как появились первые попытки применить их за пределами механики в различных отделах физики, а также в других дисциплинах.

В нашем конкретном случае аналогия, которая подталкивает к оборачиванию методов оптимизации в области механики и физики, вытекает из факта объективной всеобщности экстремальных закономерности для систем как неживой природы, так и бихевиоральных систем, как из своей онтологической основы.

Осмысливая значение всего сказанного, надо, видимо, исходить и из того, что существующие формы вариационных принципов — это всего лишь относительное и ограниченное выражение единства и взаимосвязи симметрии, инвариантности, сохранения, экстремальности и причинности, что существуют еще и другие взаимосвязи и существенные отношения, а также и другие формы выражения разбираемых здесь отношений.

1. Lie S. Die Storungstheorie und die Berungstransformation // Gesammelte Abhandlungen. Oslo, Bd. 2. 1922. S. 259–317.

2. Feynman R., Leighton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. V. 2. L.Mass. Addisson – Wecley P.c. 1964. P. 106.

3. Feynman R. The principle of least action in quantum mechanics; Ibid. Space–time approach to non–relativistic quantum mechanics // Phis.Rev., 1948. V. 20. N.2. P. 367–387 etc.

4. Passon E., de Souza Cruz C. The concept of “optimal” path in classical mechanics // J.Phys.A: Math.Gen. 1986. Авторы указывают 16 публикаций по классической механике, в которых используется понятие “оптимальная траектория”.

5. Коренев Г.В. Очерки механики целенаправленного движения. М., 1980.

6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., 1969; Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1960; Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., 1974.

630090 Новосибирск–90, пр.Акад.Лаврентьева, 17

Институт философии и права СО РАН