---------------------------Часть 1. Две меры механической формы движения материи

--------------------------Третья редакция (исправленная и дополненная) 10.08.05 г.

Юдин С. Ю. --------------------------------------------------------------------------------------------ser@t-k.ru

В современном курсе “Теоретическая механика” используются две меры механического движения - количество движения (импульс), выражающееся зависимостью mV и кинетическая энергия, выражающаяся зависимостью mV^2/2, что вносит неопределенность в природу этого движения. Хотя формально в XIX веке Энгельс в своей работе “Диалектика природы” узаконил обе меры движения, но вопросов осталось много. Поэтому я решил опубликовать в интернете эту статью, которая была написана еще в 1989 году и сейчас является одним из разделов моей книги “Моделирование систем и оптимизация их параметров” вследствие чего нумерация формул и рисунков дана в нумерации принятой в книге. А после того, как я в марте 2005 г. написал продолжение к этой статье, она вошла в цикл статей под общей рубрикой “Механика для квантовой механики” как первая часть цикла.

Почему этих мер две, для чего они нужны и каким требованиям должна отвечать мера как таковая. При изучении движения механических систем в динамике решаются, как прямая задача, когда по заданным силам и начальным координатам и скоростям надо найти как будет двигаться система в будущем, так и обратная, когда по заданному закону движения надо найти функцию по которой должны изменятся силы, чтобы система двигалась по этому закону (обычно их называют, соответственно, вторая и первая задачи динамики). При решении обратных задач обычно никаких сложностей не возникает, а вот при решении прямой задачи, выясняется что если мы опишем движение реальной механической системы, а не идеализированной, т.е. учебной, то решить аналитически такие дифференциальные уравнения практически никогда не возможно [7], т.к. они почти всегда будут нелинейными и чаще всего нелинейность будет вызвана силами сухого трения, которые в той или иной мере присутствуют во всех механических системах. Но если сделать некоторые допущения, позволяющие линеаризировать дифференциальные уравнения, т.е. описать движение похожей системы, то тогда такие уравнения можно решить аналитически. Однако и в этом случае решение может быть очень сложным. Но если нам не надо описывать весь процесс движения и нас интересует только положение системы до какого то события и после него, например, до удара и после, то решить такие задачи можно и не используя 2-ой закон Ньютона для детального описания движения этой системы, а используя законы сохранения механического движения, в которых движение как раз и измеряется этими двумя мерами. Правда некоторые авторы указывают на то, что использовать эти меры надо очень осторожно. Например, [3] пишет, что законы сохранения никогда не дают однозначного ответа о том что произойдет, а [2] пишет, что, когда удается решить задачу через закон сохранения, надо обязательно проверить выполняется ли в этом случае 2-ой закон Ньютона.

Теперь рассмотрим каким требованиям должна отвечать мера. Под мерой механического движения я понимаю величину, которая объективно, всеобъемлюще и удобно отражает суть этого движения. Последнее требование об удобстве вытекает из требования к методикам расчета механических систем, которые должны быть удобны, а иначе они не выживут в социальной форме движения материи. Мы ведь сейчас для нахождения корней квадратного уравнения не пользуемся методикой Аль Хорезми или с помощью циркуля и линейки. Да и основным побудительным мотивом Коперника, как он сам говорил, было именно упрощение методики Птолемея, которая стала не удобной при бурном развитии мореходства. Вот исходя из этих требований и рассмотрим эти две меры механического движения.

О том какая из этих мер является истинной, т.е. объективно и всеобъемлюще отражает суть этого движения, спор длится уже более трех веков. Но в современных учебниках этому вопросу не уделяется практически никакого внимания. А ведь если эти две меры равноправны, то и выводы, вытекающие из свойств этих мер можно экстраполировать на всю Природу, а выводы для разных мер могут быть разные. Например, при использовании меры mV в системе должно отсутствовать трение и, следовательно, движение происходящее по законам классической механики с применением этой меры всегда обратимо, а, чтобы запретить обратимость при рассмотрении вопросов термодинамики, мы вынуждены дополнительно вводить постулат о “стреле времени”. Более того, критики современной физики очень часто используют наличие двух мер как аргумент в своей правоте и некоторые даже ухитряются создать новую физику, где полностью отсутствует такая мера как энергия (ссылку не даю, чтобы не пропагандировать колдунов от науки).

Современные математико-физики в отличие от физико-математиков прошлого, которые всегда были немного философы, да и сама физика называлась "натуральная философия" таким мелочам как две меры механического движения в своих учебниках внимания не уделяют. Да что там какие то меры, некоторые авторы учебников, например, Ландау и Лифшиц не уделяют никакого внимания и физическому смыслу основных аксиом механики, а уже на 10 странице учебника [6] вводят принцип наименьшего действия и из него, как из рога изобилия, чисто математитчески высыпаются все законы механики. Кстати один из них гласит, что если механическая система не описывается функцией Лагранжа, то это не механика (правда авторы употребляют термин не классическая механика). И здесь авторы просто уподобляют себя Митрофанушке из комедии Фонвизина "Недоросль", который на вопрос "дверь это существительна или прилагательна?" отвечал в подобном же ключе - "та, что лежит в чулане, существительна, а та, что прилажена к петлям прилагательна". Но ведь система не будет описываться функцией Лагранжа, например, в тех случаях, когда будет присутствовать сухое трение, т.е. практически никогда, но авторы продолжают в том же духе и пишут, что если трение в системе оказывается слабым и при этом пренебречь и массами элементов соединяющих систему в единый механизм, то в данном случае можно пользоваться функцией Лагранжа и, следовательно, система у них сразу становится механической.

Справедливости ради следует отметить, что учебник издания 1965 г., когда в число соавторов входил и Ахнезер, был похож на большинство учебников по Теоретической механике, но уже через четыре года авторы резко поменяли свои взгляды. И это особенно странно, если учесть, что на конференции в Киеве в 1959 г. Л.Д. Ландау заявил, что лагранжиан мертв и должен быть похоронен со всеми подобающими ему почестями. Кстати именно этот учебник так усердно пропагандируется власть предержащими в науке, что он даже получил народное название "учебник Ландившица" (после смерти и Лифшица начиная с 4-го издания редактируется только Питаевским Л.П.). Более подробно к очень ограниченным возможностям уравнений Лагранжа мы еще вернемся в разделе 2.1.2, а сейчас давайте вернемся к вопросу о двух мерах.

Первыми, кто задумался о мере количества движения, были Леонардо да Винчи и Галилей. Затем уже в XVII веке разгорелся спор между сторонниками Декарта, который утверждал, что mV и сторонниками Гюйгенса и Лейбница, которые утверждали, что mV^2. Галилей только высказывает предположение, что движение какого-нибудь тела (он назвал его импульсом или моментом) пропорционально как массе, так и скорости этого тела. Декарт же принимает вообще произведение массы движущегося тела на его скорость единственной мерой его движения. Вот с этого момента и начинается спор о мере механического движения, так как Гюйгенс обнаружил, что в случае упругого удара, сумма произведений масс двух тел на квадраты их скоростей, также остается неизменной до удара и после него.

Но, две различные формулы не могут отражать одну и ту же величину, поэтому Лейбниц в конце ХVII века принимает за меру действительного движения mV^2 и называет эту величину “живой силой”. Термином “мертвые силы” он назвал давления или тяги покоящихся тел, которые измеряются произведением массы на скорость, с которой двигалось бы тело, если бы из состояния покоя оно перешло в состояние движения или наоборот, остановилось, как в случае абсолютно неупругого удара. Этот взгляд на вещи не устраивал сторонников Декарта и поэтому ожесточенный словесный спор о двух мерах движения продолжался.

В середине ХVIII века Даламберу удалось сместить этот спор в более реальную плоскость. Он утверждал, что под силой движущихся тел нужно понимать только их способность преодолевать препятствия или сопротивляться им, и поэтому сила не должна измеряться ни через mV, ни через mV^2. Далее Даламбер пытается увязать между собой обе меры движения, рассуждая следующим образом. Масса 1, обладающая скоростью 1, сжимает в единицу времени 1-у пружину. Масса 1, обладающая скоростью 2, сжимает 4-е пружины, но употребляет для этого 2 единицы времени, т.е. сжимает в единицу времени только две пружины. Значит, если мы разделим действие на потребное для него время, то мы вернемся от mV^2 обратно к mV. Из приведенных рассуждений, напрашивается вывод, что под mV^2 Даламбер понимает кинетическую энергию или работу, которую тело с этой энергией может совершить, а под mV - работу в единицу времени, т.е. мощность. И таким образом, логика рассуждений Даламбера верна, но используемые математические выражения для кинетической энергии и мощности, не соответствуют современным выражениям для этих величин, а его принцип получения дифференциальных уравнений движения тел, который сформулирован Даламбером в следующей форме “потерянные за элемент времени количества движения образуют систему векторов, уравновешивающихся через посредство связей системы“ сейчас можно было бы назвать уравнением мощностей. А раз под потерянным за элемент времени dt количеством движения Даламбер понимает величину dmV, то в то время это означало, что окончательный приговор Даламбер выносит в пользу mV.

Здесь надо заметить, что в то время, когда развивались эти события не существовало таких общепринятых понятий как работа, мощность, сила, т.к. они как раз формировались и все неизвестные явления объясняли действием своей силы (сила пищеварения, сила трения, сила любви, сила разума и т.д.), а то что “живая сила” и кинетическая энергия это одно и то же, станет известно только во второй половине ХIХ века и “живая сила” будет не только называться кинетической энергией, но и измеряться не как mV^2, а как mV^2/ 2. Поэтому при рассмотрении этого вопроса каждый из учёных оперировал параметрами в его индивидуальной кодировке, которая не совпадала с кодировкой других учёных, а отсюда и продолжение спора, т.к. один не совсем точно понимает о чём говорит другой. Т.е. мы опять сталкиваемся с рассмотренной нами ранее проблемой кодирования и масштабирования параметров, которая в свое время не позволила Архимеду описать работу им же изобретенного винта в терминах существовавших в то время.

Энгельс, как философ, в отличие от современных математико-физиков, понимает, что ”Задача состоит в том, чтобы выяснить себе, почему движение обладает двоякого рода мерой, что также недопустимо в науке, как и в торговле”. По этому он, уже знакомый с законом сохранения энергии и такими терминами как работа и мощность, рассматривая известные в то время случаи из практики, в каких движение передается согласно формулам mV и mV^2, делает следующий вывод. “Таким образом мы находим, что механическое движение действительно обладает двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер имеет силу для весьма определённого ограниченного круга явлений. Если имеющееся уже налицо механическое движение, переносится таким образом, что оно сохраняется в качестве механического движения, то оно передаётся согласно формуле о произведении массы на скорость. Если же оно передаётся таким образом, что оно исчезает в качестве механического движения, воскресая снова в форме потенциальной энергии, теплоты, электричества и т.д., если одним словом, оно превращается в какую ни будь другую форму движения, то количество этой новой формы движения пропорционально произведению первоначально двигавшейся массы на квадрат скорости”.

Как видим вопрос действительно очень сложный и даже такой просвещенный философ как Энгельс решить его не смог, ведь при ударе упругих тел механическое движение сначала трансформируется в потенциальную энергию двух пружин (упругих шаров), а затем опять в кинетическую, т.е. мера mV справедлива и в тех случаях, когда одна форма движения переходит в другую. А тремя страницами ранее, он сам доказывает, что во всех известных случаях, когда справедливо выражение mV (это рычаг и удар двух упругих тел), точно также справедливо и выражение mV^2. Но в выводе он почему-то делает заключение, что когда механическое движение трансформируется в механическое, то справедлива только формула mV. Кстати пример с рычагами является просто некорректным, т.к. никакой передачи движения не осуществляется и рычаг с двумя грузами на концах необходимо рассматривать не как отдельно движение одного груза, передающего движение другому грузу, а как замкнутую единую систему, движущуюся равномерно согласно 1-го закона Ньютона применительно для вращательного движения, о чем мы поговорим далее.

Попробуем разобраться с этим вопросом самостоятельно и обратимся к формулам и экспериментам. Пусть в инерциальной системе отсчета на абсолютно жёсткое тело массы m действует постоянная сила F вдоль одной из координатных осей, например, x. Тогда, согласно закону сохранения энергии, приобретённая телом кинетическая энергия будет равна работе совершенной силой F на пути x и выразится зависимостью

m * V^2/ 2 = F * x (2.1.1)

Продифференцируем обе части этого уравнения по времени t и получим уравнение мощностей для механического движения

m * a *Vm = F *Vf (2.1.2)

Так как у нас тело абсолютно жёсткое, то скорость перемещения центра масс тела Vm равна скорости приложения силы Vf и обе части уравнения можно разделить на скорость. Таким образом, от уравнения мощностей мы пришли ко второму закону Ньютона в формулировке Эйлера.

m * a = F (2.1.3)

Если теперь в этом уравнении выразить ускорение a как dV/dt , а затем, умножив обе части уравнения на dt , проинтегрировать левую часть по V и правую по t , то мы придем к уравнению, где используется мера mV и появляется еще одна интересная величина F * t , т.е. “импульс силы” за промежуток времени от нуля до t.

m * V - m * V0 = F * t (2.1.4)

где V0 - скорость тела в начальный момент времени t = 0;

Резонно поставить вопрос, если все выражения (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.4) являются математически зависимыми, то почему только первая и последняя формулы претендуют на роль меры движения. Что касается меры mV^2, то закон сохранения энергии так многократно доказывал свою справедливость, что просто не может подвергаться никаким сомнениям при рассмотрении задач классической механики. А вот почему мера mV претендует на такую же роль меры механического движения? Ведь точно с таким же успехом мы можем объявить, что формулы (2.1.2) и (2.1.3) тоже являются законами сохранения, соответственно, мощности и сил, да еще и в векторной форме. Объяснений тут будет несколько: во-первых, это чисто исторический аспект, во-вторых, невозможность органично сочетать её с остальными формулами вследствие “неудобной” размерности, в третьих - наличие “теории” удара, где выражение mV не только используется для вычислений, но и формулы имеют некий физический смысл и в четвертых - величина mV так же сохраняется при движении по инерции, как и mV^2 в отличие от сил и мощностей, которые должны быть в этом случае равны нулю (правда, возможен частный случай движения по инерции, когда вектор силы постоянно перпендикулярен вектору скорости - движение по окружности). Что касается исторического аспекта, то его уже не устранить, а вот остальные мы постараемся исправить, чтобы выражение mV не претендовало на роль такой же меры движения как mV^2, и в то же время выражение (2.1.4) нашло органичную связь с существующими физическими понятиями, характеризующими движение тела.

На первый взгляд выражения (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4), так как все они математически связаны между собой, описывают движение тела одинаково объективно. Однако в выражении (2.1.4) появилась одна особенность - сила должна являться функцией времени или быть постоянной, т.к. только в этом случае мы сможем взять интеграл от F*dt. Это требование противоречит законам Природы, т.к. все силы в Природе действующие на тела (не считая сил инерции) зависят или от координат (силы гравитационного или кулоновского притяжения и силы упругости) или от скорости (силы Лоренца, Кориолиса, реактивная и жидкостного трения) или от градиента скорости (силы сухого трения). На это обстоятельство указывают многие авторы учебников [2, 3], а в классической механике, как пишут [4] , силы вообще зависят только от координат. Но почему-то опять таки во многих учебниках, например, [1] как само собой разумеющееся указывается, что сила может зависеть и от времени и в качестве примера приводится центробежная сила при вращении несбалансированного ротора в электродвигателе (этот пример мы разбирали в разделе 1.1).

Но в этом примере закон изменения центробежной силы от времени только приблизительно для решения практических задач можно считать допустимым (других примеров я просто не видел). Ведь даже если принять, что нагрузка в электрической сети от нашего электродвигателя будет постоянной и, следовательно, частота вращения ротора турбины на электростанции и, следовательно, магнитного поля в статоре нашего электродвигателя будет стабильной, то его характеристика при изменении нагрузки от дисбаланса все равно не позволит вращаться ротору равномерно. И пусть закон изменения этой силы будет незначительно отличается от строгой синусоидальной зависимости в функции времени это не позволяет считать что силы в Природе могут зависеть в явном виде от времени. Хотя в различных системах управления мы, конечно же, можем программно задавать любой вид зависимости силы от времени.

По этому вопросу я только в учебнике [2] нашел небольшое упоминание о том, что у силы, оказывается, есть две характеристики, но при этом ее временная характеристика как бы ставится на первый план (хотя там же пишется, что силы могут быть только функцией координат и скоростей). Автор пишет "Наряду с временной характеристикой действия силы - ее импульсом - в механике столь же важную роль играет и пространственная характеристика действия силы называемая механической работой". Вот только не говорится, что это будут уже совершенно разные силы, о чем мы поговорим более подробно на конкретном примере позже. А сейчас просто напомню, что в механике наряду с другими постулатами принято, что работа (энергия) это произведение силы на путь ее действия и если сила не постоянная, то для расчета надо взять интеграл от F(x)*dx или взять произведение средней силы по пути (не по времени) и умножить на путь. А если учесть, что сила может быть только функцией координат или скоростей, то этот постулат приобретает теоретическое обоснование.

Таким образом, зависимость (2.1.4) является частично искусственной, т.е. созданной для решения учебных задач и, следовательно, мера mV претендовать на ту же всеобщность в Природе как мера mV^2 не может. Но, в то же время с помощью этого выражения можно решать многие простейшие реальные задачи даже когда одна форма движения переходит в другую. Например, движение тела по наклонной плоскости, когда потенциальная энергия переходит в кинетическую, а кинетическая за счет трения в тепловую, т.к. сила трения о поверхность и касательная составляющая силы притяжения не зависят ни от перемещения, ни от скорости, т.е. являются постоянными.

m * V - m * V0 = ( m * g * sin(alfa) - m * g * cos(alfa) * f ) * ( t - t0 ) (2.1.5)

где alfa - угол наклона плоскости к горизонту;

f - коэффициент трения тела о плоскость;

g - ускорение свободного падения.

Разделим теперь обе части выражения (2.1.4) на m и перенесем V0 в правую часть и мы получим V = V0 + F * t / m, а т.к. при постоянной силе F/m это есть постоянное ускорение a то мы можем записать V =V0 + a * t. Таким образом, выражение (2.1.4) эквивалентно формуле для определения скорости при ускоренном движении и при этом имеет вполне определенный смысл и сохраняет все свои свойства в этой записи, которая справедлива не только тогда, когда F = const , но и в тех случаях, когда она является функцией времени. Например, если F = F0 * sin (w* t) , то V =V0 - F0 * ( cos (w * t ) - 1 ) / m / w . И единственным требованием к применению меры mv является наличие сил зависящих от времени или постоянных. Таким образом, мера mv отвечает только одному требованию предъявляемому к мере движения - объективность и то в частном случае и по этому может являться таковой только для решения учебных задач, если не считать простейшего случая, когда все силы действующие на систему постоянные.

Правда некоторые оппоненты могут мне возразить, что величина mV является векторной величиной (хотя первоначально у Декарта mV было скалярной величиной), а mV^2 является скалярной и по этому mV^2 ни в коей мере не может заменить mv, например, при определении скоростей разлета шаров после удара. На это я могу ответить, что, как будет показано ниже, никакие векторные достоинства этой мере не помогут ей определить ни направления разлета шаров, ни величины их скоростей. И единственным ее векторным достоинством следует признать, то что направление и величина скорости центра масс всей замкнутой системы останутся неизменными при любых перемещениях отдельных частей системы между собой за счет внутренней энергии системы. А это как Вы сами понимаете формулировка 1-го закона Ньютона для замкнутой системы, т.е. для движения ее центра масс. И на то, что закон сохранения количества движения эквивалентен 1-у закону Ньютона, прямо указывают авторы [5, 8] . Если Вам нравится называть 1-ый закон Ньютона - законом сохранения количества движения, то у меня возражений нет. Вот только не понятно зачем все усложнять и любителям изобретать велосипед я хотел бы напомнить мысль Ломоносова о простоте природы и необходимости отказываться от усложнений при ее описании, если можно описать ее просто.

А используя меру mV^2 Вы можете с успехом применять не только формулу (2.1.1), но и формулы (2.1.2) и (2.1.3), где сила также является функцией перемещения и, следовательно, в этих формулах используется мера mV^2. Причем, что очень важно для обработки экспериментальных данных с осциллограмм, которые всегда записываются с разверткой по времени, как будет показано далее, можно использовать мгновенные значения мощностей не только в функции перемещения, но и в функции времени. И хотя в эргодических процессах отступление от требования рассчитывать средние значения параметров по пути а не по времени приводит к ошибке всего около одного процента, это не погрешность эксперимента, а систематическая ошибка, что для теоретических выводов не допустимо, а в неэргодических процессах ошибка может достигать и десятков процентов.

Но может быть, есть такие задачи которые мы не можем решить не прибегая к помощи mV или теория основанная на mV дает лучше результаты, чем другие теории. В таком случае, естественно, мера движения mV будет иметь право на существование, хотя бы только для этого частного случая движения. Единственной областью динамики (не считая квантовой механики, где правда нет никакой динамики) базирующейся на мере движения mV является "теория" удара. Каковы возможности этой "теории". Считается, что мы можем определить величину и направление скоростей тел после удара, а также величину максимальной силы при ударе. Но, эта "теория" имеет и существенные недостатки. Мы не можем определить ни величину, ни направление скоростей движения тел и действующих на них сил во время удара, а также время взаимодействия двух тел. Кроме того, при не абсолютно упругом ударе, мы вынуждены пользоваться коэффициентом восстановления скорости, который необходимо получить экспериментально и который, вдобавок, не инвариантен к величине относительной скорости соударяющихся тел и их форме. Для определения максимальной силы при ударе, используется приблизительная зависимость изменения силы при ударе, а также экспериментально полученное значение времени удара, т.к. ни то, ни другое не вытекают из "теории". Таким образом, от так называемой "теории" практически ничего не остается и мы видим просто набор эмпирических зависимостей. Но, если у нас нет других средств, чтобы описать движение тел при ударе, то и эта полу теория и мера mV все же имеют право (хотя бы временное) на существование.

Для тех кто не знаком с моей книгой необходимо сообщить, что при моделировании механических систем для составления уравнений их движения я как общим принципом пользуюсь уравнением мощностей, т.е. применяю энергетический метод и, следовательно, как меру движения признаю только mV^2. При этом в уравнениях у меня нет активных сил и сил реакций, а все силы равнозначны и запись уравнений я произвожу не в векторной форме, а по осям Декартовой системы координат, что считаю более естественным для Природы. При этом никаких уравнений связей у нас не будет, т.к. не будет и самих связей, а знаки у величин сил и скоростей я принимаю в соответствии с направлением осей и если мощность получается со знаком плюс, то она увеличивает кинетическую энергию системы, а если минус, то соответственно уменьшает. В тех случаях, когда тела имеют моменты инерции и вращаются, я дополнительно записываю еще три уравнения вращения тел вокруг осей Декартовой системы координат в соответствии с уравнением мощностей при вращательном движении. При этом три закона Ньютона для вращательного движения будут выглядеть следующим образом

1-ый J1 * w1= J2 * w2

2-ой dw / dt= M / J

3-ий M1 = - M2

где w - угловая скорость, J - момент инерции, M - крутящий момент.

В подавляющем большинстве случаев уравнение мощностей, т.е. принцип Даламбера в моей современной трактовке, упрощается до его классической трактовки данной в учебниках, т.е. до принципа кинетостатики, но это не означает, что так надо поступать всегда. Так при моделировании процессов, где у нас происходит кинематическое проскальзывание (как упругого, так и неупругое), т.е. нет жесткой взаимосвязи между поступательной и угловой скоростями частей системы, например, в клиноременных передачах или при движении колеса автомобиля использование уравнения мощностей приводит к принципиально другим решениям. В частности мне это помогло значительно улучшить современную теорию качения колеса и избавится от присутствующей в ней мифической силы сопротивления передвижению колеса при его движении по несминаемому основанию, т.е. еще одной волшебной силой из прошлого стало меньше и кого интересует данный вопрос могут найти на него ответ по адресу ser.t-k.ru.

Давайте теперь, используя изложенные сейчас принципы моделирования механических систем, посмотрим, сможем ли мы получить те же результаты при ударе, а по возможности и лучше, не прибегая к помощи меры mV, а просто смоделировав удар. Опишем движение абсолютно упругого тела (шарика), вся масса которого сосредоточена в его центре масс, при его ударе в абсолютно жесткую стену, воспользовавшись уравнением (2.1.2), а т.к. в нашем случае Vm = Vf мы приходим к частному случаю, т.е. уравнению (2.1.3)

m * ax= - c * x (2.1.9)

где c - жёсткость тела в продольном направлении

ax – ускорение по оси x.

Решение этого дифференциального уравнения известно

x = k1 * cos (w * t ) + k2 * sin (w * t ) (2.1.10)

где k1, k2 - константы определяемые из начальных условий;

w - угловая частота собственных колебаний системы.

При параметрах тела m = 1 кг , c = 10000 н/м и начальных условиях V0 = 10 м/с, x0 = 0 при t = 0 решение уравнения (2.1.10) примет вид

x = 0.1 * sin ( 100 * t ) (2.1.11)

Vx= 10 * cos (100 * t ) (2.1.12)

Изменение скорости при ударе и силы удара, которая определится как c*x, в функции времени t и в функции перемещения x изобразим графически на рис.2.1.1.

Рис.2.1.1. Зависимость силы удара F и скорости шара V в функции времени t и его деформации x.

Таким образом, мы можем найти не только значение скорости шарика после отскока, но и получили зависимости для нахождения силы и скорости во время удара, чего нельзя получить опираясь на меру движения mV. Здесь также необходимо заметить, что вычисление средней силы, равно как и максимальной по формуле основывающейся на mV очень не однозначно, даже если нам известны все остальные параметры удара, если не принимать во внимание что это за сила. Например, воспользовавшись данными, полученными нами в рассмотренном примере, и подставив их в формулу рекомендуемую “теорией удара” для вычисления средней силы, мы получим

Fср = m * ( V0 - v ) / t = 1 * (10 + 10 ) / 0,0314 = 637 н (2.1.13)

Вот только авторы учебников нигде не пишут, что это не та сила, к которой мы привыкли, т.е. по перемещению, а средняя сила по времени, потому что средняя сила по перемещению будет 500 н. Максимальную силу при ударе, согласно “теории удара” основанной на mV, например, в учебнике [1] рекомендуется определять как удвоенное значение средней силы, т.к. это единственная разумная рекомендация при неизвестной зависимости изменения силы, которую (зависимость) теория базирующаяся на mV просто не может дать. Но у нас такая зависимость есть и согласно рис.2.1.1 максимальная сила при ударе была 1000 н, что значительно меньше 1274 н, которые может дать “теории удара” основанная на mV. Но как мы сейчас увидим формула (2.1.13) в принципе верна, но для другой силы, т.е. не пространственной, а временной силы. При этом работа, совершенная силой при ударе Ax равна произведению среднего значения силы по перемещению Fxср умноженному на это перемещение x, но не At равной среднему значению силы по времени Ftср умноженному на перемещение рассчитанное по средней скорости по времени x = Vtср * t или среднему значению мощности полученному по средним значениям силы Ftср и скорости Vtср по времени умноженному на время действия, что легко проверить сравнив эту работу с величиной кинетической энергии Ak потерянной шаром до его остановки при максимальной деформации.

Ax = Fxср * x = 500 н * 0.1 м = 50 н*м

At = Ftср * Vtср * t = 637 н * 6.37 м/с * 0.0157 с = 63.7 н*м

Ak = m * V^2/2 = 1 кг * 10 м/с * 10 м/с / 2 = 50 н*м

Но если мы возьмем от мгновенной мощности

P(t) = F(t)*V(t) = 1000*sin(100*t) * 10*cos(100*t) = 10000*sin(100*t)*cos(100*t)

в интервале от нуля до 0.0157 секунд интеграл мы получим опять верный ответ

-50*(cos(100*t))^2 = 50 н*м.

Таким образом, с математической точки зрения силы и Fxср и Ftср вполне приемлемы для расчетов и вопрос только для каких расчетов и как их применять, чтобы не потерять физический смысл этих расчетов как в рассмотренном сейчас простейшем примере упругого удара, так и в других более сложных случаях, как, например, в термодинамике, при определении давления газа на стенки сосуда.

Аналогичным образом, смоделировав весь процесс, можно получить и зависимости по которым определятся скорости при абсолютно упругом или абсолютно неупругом лобовом ударе двух шаров. Например, движение при лобовом столкновении двух абсолютно неупругих шаров опишется системой дифференциальных уравнений (2.1.14), решая которую найдём скорости обоих шаров, которые выразятся зависимостями (2.1.15) и (2.1.16)

m1 * ax1= d1 * (Vx3 - Vx1)

m2 * ax2= d2 * (Vx3 - Vx2)

Vx3= (d1 * Vx1 + d2 *Vx2) / (d1 + d2) (2.1.14)

Vx1= [ ( V1 - V2 ) * n1 * exp(-(n1+n2)*t) + V1 * n2 + V2 * n1] / (n1 + n2 ) (2.1.15)

Vx2= [ ( V2 - V1 ) * n2 * exp(-(n1+n2)*t) + V1 * n2 + V2 * n1] / (n1 + n2 ) (2.1.16)

где V1 , V2 - скорости шаров до удара;

Vx3- скорость точки контакта;

d1 , d2 - диссипативные параметры шаров;

n1 , n2 -постоянные коэффициенты определяемые по зависимостям

n1 = d1 * d2 / m1 / ( d1 + d2 ) (2.1.17)

n2 = d1 * d2 / m2 / ( d1 + d2 ) (2.1.18)

Из формул (2.1.15) и (2.1.16) следует, что при времени стремящемуся к бесконечности, первые члены этих выражений стремятся к нулю и, следовательно, в конце удара скорости обоих шаров выразятся второй частью уравнений (2.1.15) и (2.1.16), которые идентичны. Следовательно, скорости после удара будут равны и после подстановки значений n1 и n2 в эти выражения определятся как u

u = Vx1 = Vx2 = ( m1 * V1 + m2 * V2 ) / ( m1 + m2) (2.1.19)

Движение при лобовом ударе двух абсолютно упругих шаров опишется системой уравнений (2.1.20), а решения этих уравнений для скорости шаров выражениями (2.1.21) и (2.1.22)

m1 * ax1 = ce * ( x2 - x1 )

m2 * ax2 = ce * ( x1 - x2 ) (2.1.20)

Vx1 = [(V1 - V2) * b1 * cos(t * (b1+b2)^0.5) + V1 * b2 + V2 * b1] / (b1 + b2) (2.1.21)

Vx2 = [(V2 - V1) * b2 * cos(t * (b1+b2)^0.5) + V1 * b2 + V2 * b1] / (b1 + b2) (2.1.22)

где V1 , V2 - скорости шаров до удара;

ce = c1 * c2 / (с1 + с2) - суммарная жесткость двух шаров;

b1, b2 - постоянные коэффициенты ( b1 = ce / m1 , b2 = ce / m2 )

Через время t = pi / (b1+b2)^0.5 шары выйдут из соприкосновения и полетят с постоянными скоростями. Подставив в зависимости (2.1.21) и (2.1.22) это значение времени и значения коэффициентов b1 и b2 , после преобразований получим

Vx1 = 2 * u - V1 (2.1.25)

Vx2 = 2 * u - V2 (2.1.26)

где u - скорость шаров после абсолютно неупругого удара, т.е. когда система полностью израсходует свою внутреннюю энергию, определяемая по формуле (2.1.19)

При аналитическом решении этих двух задач, которое было получено мною впервые (по крайней мере, в открытой печати я нигде этих выкладок не видел), были сделаны допущения, что при ударе в пятне контакта будет отсутствовать сухое трение, что впрочем, будет на самом деле при ударе двух шаров одинакового диаметра и одинаковой жесткости, а также принял, что трение внутри материала шаров при абсолютно неупругом ударе будет жидкостным, т.е. сила трения будет пропорциональна скорости деформации шара. Данные допущения мне потребовались, чтобы дифференциальные уравнения описывающие движения шаров были линейными, т.к. в противном случае мы бы их не смогли решить аналитически. Но, с помощью дифференциальных уравнений, подобным приведенным выше, можно описывать удар любых тел и под любым углом, и с сухим трением, и с переменной жесткостью, и различной формы. Только, для решения таких уравнений необходимо использовать численные методы решения дифференциальных уравнений, например, метод Рунге-Кутта, что реализовано мною в программе Udar23, которую все желающие могут скачать с моей домашней страницы ser.t-k.ru.

Из частных решений (2.1.19), (2.1.25), (2.1.26) вытекает, что решения совпадают с уравнениями приведенными в “теории” удара основанной на mV в тот момент, когда удар уже завершён, а общие решения систем (2.1.14) и (2.1.20) позволяют нам кроме этого, описать во всех подробностях и сам процесс удара. Таким образом, и здесь выражение mV не может претендовать на роль еще одной меры движения, т.к. не только не дает нам ничего нового, но и решения полученные с помощью этой меры являются только частным решением общего решения полученного и без этой меры и, следовательно, смотри высказывание Ломоносова приведенное выше.

Ещё более наглядно проявляется несостоятельность меры mV при решении задач, когда два шара ударяются под углом друг к другу, т.е. при косом ударе. Здесь даже частное решение, т.е. когда шары вышли из соприкосновения друг с другом, не соответствует действительности. Например, при ударе абсолютно упругих и абсолютно гладких двух шаров одинаковой массы m1 = m2 = 1 кг и одинаковой жёсткости c1 = c2 = 400 н/м, которые движутся под углом 90 градусов друг к другу, а в момент касания линия соединяющая центры шаров составляет углы к направлениям движения по 45 градусов (рис.2.1.2) получается, что если их скорости до удара были V10 = 1 м/с и V20 = 10 м/с, то после удара согласно существующей "теории удара" они будут V1 = V2 = 7,1 м/с. На самом же деле, шары разлетятся как это показано на рис.2.1.2 со скоростями V1 = 2,6 м/с и V2 = 9,7 м/с, которые получены при решение этой задачи численными методами с помощью программы Udar23. И хотя, как видите, геометрическая сумма скоростей, что при массах шаров равных 1 кг равнозначно “количеству движения”, остается в обоих вариантах равной значению до удара, но сами скорости получаются совершенно разные.

Рис.2.1.2. Скорости двух шаров до и после косого удара, рассчитанные по уравнениям движения полученным энергетическим методом с индексами mv^2 и с помощью классической "теории удара" с индексами mv на левом рисунке и зависимости скоростей шаров после удара полученным энергетическим методом в функции от жесткости шаров на правом рисунке.

Чем же объясняется такое расхождение полученных решений. А тем, что для решения этой задачи аналитически, нам необходимо иметь четыре уравнения для нахождения двух скоростей по двум координатам x и y, а у нас их только три. Если использовать 1-й закон Ньютона, как закон сохранения количества движения, т.е. как меру mV, то мы можем получить из него два уравнения. Еще одно уравнение нам даст закон сохранения энергии, т.к. шары абсолютно упругие и абсолютно гладкие (т.е. отсутствует как трение внутри шаров, так и в пятне контакта), а вот четвертого уравнения у нас нет и взять нам его не откуда. Но для того, чтобы хоть как-то решить эту задачу прибегают к некоторым допущениям, как, например, это сделано в [9] и предполагают, что т.к. оба шара абсолютно гладкие, то, следовательно, тангенциальных сил в пятне контакта не будет и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут, а будут меняться только нормальные от действия только нормальных сил в пятне контакта, т.е. как при лобовом ударе и отсюда мы получим еще одно уравнение.

Но, вводя такое допущение, авторы учебников забывают сообщить, что для этого время удара должно быть равно нулю, т.е. система должна быть трижды идеальная, что не возможно даже теоретически. С одной стороны, тела должны быть абсолютно упругими и гладкими, чтобы не было диссипации энергии, а с другой стороны абсолютно жесткими, чтобы время удара было равно нулю, а иначе за время удара вектора нормальных сил в пятне контакта успеют развернуться на какой то угол. Например, в рассмотренном нами примере за время удара вектор нормальной силы в пятне контакта успевает развернуться на угол около 60 градусов, что хорошо видно на анимации процесса удара во время работы программы Udar23, но представление об этом можно составить и рассмотрев несколько ключевых этапов процесса удара изображеных на рис. 2.1.3. При этом, если мы будем постепенно увеличивать жесткость шаров, т.е. уменьшать время контакта при ударе, то мы увидим, что скорости разлета шаров постепенно будут приближаться к решению при времени удара равном нулю, т.е. при жесткости шаров равной бесконечности, как это изображено на правом рис. 2.1.2. Но если мы возьмем абсолютно жесткое тело, чтобы время удара было равно нулю и вектор не успел повернуться, то получим силу при ударе равную бесконечности и, следовательно, у нас в разные стороны разлетятся не шары, а их осколки.

Рис.2.1.3. Фрагменты процесса удара двух абсолютно упругих и гладких шаров (касание, середина процесса удара и выход из соприкосновения).

Таким образом, мы можем констатировать полную несостоятельность выводов Энгельса о том, что механическое движение обладает двоякой мерой движения и что в одних случаях, оно измеряется как mV, а в других, как mV^2. Те же редкие случаи, когда с помощью меры mV удаётся получить кое-какие результаты, необходимо отнести не к закону сохранения количества движения, как еще одной меры механического движения, а к естественным выводам вытекающим из математической интерпретации 1-го закона Ньютона для движения его центра масс. Более того, применение меры mV только усложняет восприятие законов Природы, например, в термодинамике использующей молекулярно-кинетическую теорию газов, вводя туда искусственно такие понятия как энтропия и запрет на обратимость самопроизвольных процессов в виде “стрелы времени”. А применение меры mV^2, позволяющей учесть диссипацию энергии при ударе даже при простейшем варианте взаимодействия молекул как обычных шариков, уже само по себе запрещает обратимость процессов без дополнительных постулатов.

Если мы в рассмотренном нами примере косого удара абсолютно упругих и гладких шаров, т.е. идеальной системы состоящей из двух шаров, после того как шары разлетятся, остановим время, а затем, нажав в программе Udar23 кнопку "Реверс", заставим двигаться шары со своими скоростями, но строго в противоположном направлении, то мы как бы сымитируем “машину времени”. А так как у нас идеальная система (проще говоря без трения), то мы будем наблюдать обратимость процесса во времени, т.е. эффект будет такой как будто мы кинопленку с ударом шаров начали прокручивать в обратном направлении и при этом мы никак не сможем определить движется ли кинопленка в прямом направлении или обратном, т.е. после обратного удара скорости шаров станут точно такими как были до первого удара, а именно 1 м/с и 10 м/с и шары будут двигаться в тех же направлениях, что и до первого удара. Тот же результат мы получим и при решении этой задачи с использованием меры mV, но в том то и дело, что с использованием меры mV мы можем рассматривать только такой удар, где нет диссипации энергии и, следовательно, можем получить только такой результат и, чтобы запретить такое поведение шаров (молекул) при реальных процессах, когда есть диссипация энергии, необходимо вводить в термодинамике, искусственный запрет в виде “стрелы времени” и вводить такое понятие как энтропия.

Используя же меру mV^2, мы можем рассматривать удар и при диссипации энергии, которая будет вызвана электромагнитным излучением при взаимодействии электронных оболочек молекул, и обратимость самопроизвольных процессов в этом случае становится теоретически не возможной, т.е. скорости шаров после обратного удара никак не смогут опять стать такими как были до первого удара и по этому отпадает необходимость в искусственном запрете “машины времени”. При этом и смысл энтропии тоже становится более понятен, если учесть, что при таком ударе во-первых скорости шаров (молекул) плавно выравниваются во время удара, а во-вторых рассеявшаяся энергия в виде электромагнитного излучения “равномерно” возвращается ко всем шарам рассматриваемой системы также нивелируя их разность скоростей, что в термодинамике равнозначно выравниванию температур, и таким образом в конечном итоге ведет к возрастанию энтропии системы.

Но, чтобы окончательно закончить с вопросом о двух мерах применяющихся в классической механике, необходимо, хотя бы вкратце, остановиться и на величине производной от mV, а именно “моменте количества движения”, т.е. для материальной точки при ее движении по окружности радиуса R это будет mV * R = m * w * R * R = J * w. В курсе “Теоретическая механика” этой мере движения глава обязательно посвящается и с теми же правами как и mV, только при вращательном движении. Правда, задачи, которые с помощью этой меры движения решаются, также как и в случае mV, не соответствуют областям применения двух мер движения, указанным Энгельсом, и, кроме того, включают в себя не только задачи на вращательное движение систем, но и задачи на движение по окружности отдельных тел при их движении под действием только центральных сил. Частным примером таких задач является движение планет солнечной системы, подчиняющееся второму закону Кеплера, что одно и тоже, что и теорема о сохранении “момента количества движения”, где кинетическая энергия планет то уничтожается, переходя в потенциальную, то опять возникает из потенциальной. Как мы можем видеть теорема сохранения “момента количества движения” (2.1.27), это опять таки, как и при поступательном движении просто математическая формулировка 1-го закона Ньютона только для вращательного движения со своей спецификой и здесь у нас фигурирует не масса m, а момент инерции J и не линейная скорость V, а угловая w.

Рассмотрим такой пример. Шарик массой m привязан к нитке, пропущенной в отверстие горизонтальной поверхности и движется по окружности вокруг этого отверстия с угловой скоростью w1, а длина нити равна R1. Т.е. шарик движется по инерции по окружности только под действием силы натяжения нити, т.е. центральной силы (трением шарика о поверхность пренебрегаем). Затем нить потихоньку втягивается в отверстие до тех пор, пока шарик не начнет вращаться по окружности радиуса R2. Следует определить угловую скорость w2. Это очень типичная задача в курсе теоретической механики и решается она на основании теоремы о сохранении “момента количества движения”, т.к. здесь механическое движение перешло в механическое и таким образом в виде произведения вектора mV на радиус-вектор должно сохраниться и, следовательно, должен сохраниться так называемый кинетический момент.

J1 * w1 = J2 * w2 (2.1.27)

где J1 , J2 - моменты инерции, которые для шарика, при его движении по окружности под действием какой ни будь центральной силы, которая не дает ему улететь от действия сил инерции при мгновенном прямолинейном движении, равны

J1 = m * R1^2 , а J2 = m * R2^2 (2.1.28)

Хотя мы также можем утверждать, что уравнение (2.1.27) никакая не теорема о сохранении “момента количества движения”, а просто шарик движется по инерции согласно 1-го закона Ньютона, и, следовательно, произведение момента инерции на угловую скорость не должно изменяться, а отсюда, зная какой момент инерции у шарика будет при его движении по радиусу R2 , найти w2 . Для решения этой задачи мы также можем полностью смоделировать весь процесс движение шарика и найти все, что нас интересует, как мы это делали при ударе и, если Вы воспользуетесь программой Konma2, которую также можете скачать с моей домашней страницы, то Вы в этом убедитесь. Но если Вы не хотите рассматривать процесс движения шарика во всех подробностях и вас интересуют только начальное и конечное состояния системы, то Вы можете узнать это так же и не прибегая к 1-у закону Ньютона, а воспользовавшись мерой движения mV^2, т.е. законом сохранения энергии. Ведь, если мы посмотрим, а какова стала кинетическая энергия шарика, после того как мы его подтащили, то выясним, что она стала больше. Следовательно, здесь не просто энергия механического движения по одной окружности перешла в энергию механического движения по другой окружности, а еще какая-то энергия трансформировалась в кинетическую. Естественно, это будет работа, совершенная по подтаскиванию шарика из точки R1 в точку R2 . Разность кинетических энергий шарика в точках R2 и R1 будет равна работе по подтаскиванию шарика и, следовательно,

где w - угловая скорость, зависящая от переменной R

Для того чтобы найти функциональную зависимость w = f(R), произведем замену R2 на переменную t и w2 на w(t). Теперь продифференцируем выражение (2.1.29) по переменной t. В результате, после преобразований, получим дифференциальное уравнение (2.1.30), решение которого будет (2.1.31)

dw / w = - 2 * dt / t (2.1.30)

w(R2) = R1^2 * w1 / R2^2 (2.1.31)

Если мы теперь домножим правую и левую части этого уравнения на m, то получим

m * R2^2 * w2 = m * R1^2 * w1 (2.1.32)

т.е. уравнение (2.1.27). Таким образом, т.к. зависимость (2.1.32) была получена исходя из общего закона сохранения энергии, мы с полным основанием можем сказать, что она является частным случаем законом сохранения энергии при движении тела по окружности под действием центральных сил и мера движения “момент количества движения” не имеет к этому закону никакого отношения.

Очень часто также используется теорема о сохранении “момента количества движения” системы относительно неподвижной оси, если сумма моментов внешних сил равна нулю. Например, человек стоящий на скамейке Жуковского, может повернуться вращая над головой зонтик. Используя теорему о сохранении “момента количества движения” всей системы, можно, зная момент инерции зонтика и человека, а также скорость вращения зонтика, из формулы (2.1.27) найти скорость вращения человека. Но данную задачу можно с таким же успехом решить, не прибегая к “моменту количества движения” и закону о его сохранении, а используя 1-ый закон Ньютона для вращательного движения замкнутой системы или уравнение (2.1.34) для равноускоренного движения по окружности аналогичное уравнению при прямолинейном движении тела

w = w 0 + ew * t (2.1.34)

А так как угловое ускорение ew, согласно 2-го закона Ньютона, равно M / J, то при w0 = 0 для человека и зонтика будем иметь

w1 = M1 * t / J1 (2.1.35)

w2 = M2 * t / J2 (2.1.36)

А так как согласно 3-го закона Ньютона крутящийся момент приложенный к зонтику равен моменту приложенному к человеку, то M1 = M2 и отсюда естественным путем получается зависимость (2.1.27), которая может быть понятна и логически объяснена.

Таким образом, если констатировать, что нам может дать это произведение массы на скорость, т.е. mV, если мы кроме математической интерпретации 1-го закона Ньютона для движения центра масс замкнутой системы будем вкладывать в него еще какой то смысл, как еще одной меры механического движения, то мы вынуждены констатировать, что ничего кроме головной боли. Так зачем же изобретать еще одну меру механической формы движения материи? Неужели только для того, чтобы студенты поупражнялись в математике на простейших учебных задачах? Из всего выше сказанного, вытекает практический вывод о том, что присутствие в учебниках по “Теоретической механике” двух мер механической формы движения материи не только не оправдано, но и вредно. Исключение разделов связанных с mV, как еще с одной мерой движения, приведёт к тому, что не только упростится изложение материала, но и значительно повысится качество знаний студентов. Это тем более оправдано тем, что с развитием вычислительной техники можно численными методами решать любые системы дифференциальных уравнений и при этом практически автоматизировать не только процесс написания уравнений с использованием уравнения мощностей, но и их решения численными методами. При этом основной массе инженеров совершенно не надо запоминать частные решения конкретных задач для успешной разработки новых образцов техники. Да и специалистам, занимающимся решением принципиальных задач нет необходимости при этом решать не конкретную задачу, а подобную ей. Ведь в природе нет таких явлений, которые бы описывались линейными дифференциальными уравнениями, для которых можно найти аналитическое решение и нам приходится заменять реальную задачу подобной, т.е. линеаризировать дифференциальные уравнения. И, следовательно, основная задача курса “Теоретической механики” заключается в том, чтобы, используя уравнение мощностей (2.1.2), где всегда присутствует понятный физический смысл законов Природы, научить студента составлять системы дифференциальных уравнений, т.е. моделировать окружающий нас мир и грамотно ввести начальные данные в стандартную программу решения дифференциальных уравнений численными методами.

В начале статьи я упомянул, что мера mV применяется и в квантовой механике, но не рассмотрел эти случаи в этой статье, и по этому вопрос оказался как бы незавершенным. И хотя вся более менее добротная теория в квантовой механике обязана волновым свойствам света и других излучений, а вот их свойства как частиц используются только в прикладных целях для определения массы и скорости частиц при их столкновениях (ударах), но в тех редких случаях, когда при рассмотрении теоретических вопросов речь заходит об электроне не как о волне или облаке размазанном вокруг ядра атома, а как о частице, то обязательно появляются меры движения mV и mV^2 . Кроме того, как в классической механике, так и в квантовой механике есть и такая мера движения как "действие" с размерностью джоуль умножить на секунду, что соответствует размерности постоянной Планка, т.е. кванту действия, о которой мы пока ничего не говорили и это просто вынуждает продолжить начатый разговор и по этому в следующей статье "Механика для квантовой механики" я обязательно продолжу рассмотрение этого вопроса.

Список литературы

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Т.2.: Динамика. - 3-е изд. - М.: Наука. 1985, с. 496.

2. Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Физика для углубленного изучения: часть 1.: Механика. -, с. 352.

3. Иродов И. Е. Основные законы механики - 3-е изд., с. 250.

4. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики: Механика и молекулярная физика. М.: Наука, 1965. - 399 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики:Т.1. Механика. Электродинамика. М.: Наука, 1969. - 271 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10-ти т.Т.1. Механика. - 4-е изд. М.: Наука, 1988. - 216 с.

7. Маркеев А.П. Теоретическая механика - 2-е изд. - М.: ЧеРо. 1999, с. 572.

8. Савельев М.В. Курс общей физики:Т.1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика - 4-е изд. - М.: Наука, 1969. - 271 с.

9. Сивухин Д.В. Общий курс физики:Т.1. Механика. М.: 1979. - 520 с.